保存力場での力学的エネルギー

はじめに

高校の物理で\(\mbox{運動エネルギー} + \mbox{位置エネルギー} = \mbox{一定}\)というのを習ったと思います。ここでは保存力場でこの法則が成り立つことを証明したいと思います。

保存力場とは？

ベクトル場\(a\)に対して\(a = -\mathrm{grad}f\)を満たすスカラー場\(f\)が存在するとき、\(f\)をスカラーポテンシャル、\(a\)を保存力場といいます。

スカラー場とは

空間内の集合\(D\)の各点\(P\)において実数値\(f(P)\)が定まっているとき、\(f\)を\(D\)のスカラー場といいます。例えば、高さ、電位や密度などを決める関数はスカラー場と言えます。

ベクトル場とは

集合\(D\)の各点\(P\)においてベクトル\(a(P)\)が定まっているとき、\(a\)を\(D\)のベクトル場といいます。例えば、電場や磁場などがそう言えます。

\(\mathrm{grad}とは\) \(\mathrm{grad}f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})\)

例として、電場が保存力場であること（スカラーポテンシャル\(f\)を持つこと）を示しておきます。原点\(O\)に点電荷\(q\)を置いたとします。\(O\)を除いた領域\(D\)の点\(P\)に点電荷を置いたとき、この点電荷に働く電場\(E\)はクーロンの法則により \begin{equation*} \begin{split} E &= k\frac{q}{|\vec{OP}|^2}e \mbox{\(\quad\)[eは\(\vec{OP}\)方向の単位ベクトル]} \\ &= k\frac{q}{|\vec{OP}|^2}\frac{\vec{OP}}{|\vec{OP}|} \\ &= k\frac{q}{|\vec{OP}|^3}\vec{OP} \end{split} \end{equation*} となります。ここで\(k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)です。\(\vec{OP} = (x, y, z)\)とすると\[E = \frac{q}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}^3}(x, y, z)\]となるので\(f = \frac{q}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)とすれば\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}^3}\)だから\[-\mathrm{grad}f = \frac{q}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}^3}(x, y, z) = E\]となって電場が保存力場であることが分かると思います。

エネルギー保存則

では最後に、力の場\(F\)が保存力場のとき運動エネルギー\(\frac{1}{2}m|v|^2\)と位置エネルギー\(U\)の和\(E\)が時刻\(t\)に無関係であることを（\(\frac{dE}{dt}=0\)）示します。

時刻\(t\)のときの位置ベクトルを\(r(t)\)とすると、運動方程式は、\[F = ma = m\frac{d^2r(t)}{dt^2} = -\mathrm{grad}U \mbox{\(\quad\)[保存力場だから]} \]となります。以下\(\frac{dE}{dt}\)を計算していきます。

\begin{equation*} \begin{split} \frac{dE}{dt} &= \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\left| v \right|^2 + U) \\ &= \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\left| \frac{dr}{dt} \right|^2 + U) \mbox{\(\quad [v = \frac{dr}{dt} \)だから]} \\ &= m\frac{dr^2}{dt^2}\cdot\frac{dr}{dt} + \frac{dU}{dt} \mbox{\(\quad [\frac{d}{dt}(\left| \frac{dr}{dt} \right|^2) = \frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt}\cdot\frac{dr}{dt}) = 2\frac{d^2r}{dt}\cdot\frac{dr}{dt}\)(積の微分)だから]} \\ &= (-\mathrm{grad}U)\cdot\frac{dr}{dt} + \frac{dU}{dt} \end{split} \end{equation*}

一方\(U\)は位置\(r\)による関数だから\(U = U(r(t)) = U(x(t), y(t), z(t))\)と考えるとchain ruleにより \begin{equation*} \begin{split} \frac{dU}{dt} &= \frac{\partial U}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z}\frac{dz}{dt} \\ &= (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}) \cdot (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}) \\ &= (\mathrm{grad}U) \cdot \frac{dr}{dt} \end{split} \end{equation*} となる。よって、\[\frac{dE}{dt} = 0\]が示された。

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